Nombre de Kynea

En mathématiques récréatives, le n-ième nombre de Kynea (où n est un entier naturel) est l'entier

${\displaystyle (2^{n} 1)^{2}-2.}$

Les nombres de Kynea furent étudiés par Cletus Emmanuel, qui les baptisa du prénom d'une petite fille.

Propriétés

Les dix premiers nombres de Kynea (suite  A093069) sont

2, 7, 23, 79, 287, 1 087, 4 223, 16 639, 66 047 et 263 167.

Leurs classes de congruence modulo 7 sont

2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 2

donc pour tout entier k > 0, le (3k 1)-ième nombre de Kynea n'est pas premier.

Sur les 25 premiers nombres de Kynea, seuls les 5 suivants ne sont ni premiers, ni multiples de 7 :^{[réf. souhaitée]}

• ${\displaystyle k(6)=41\times 103}$^{[réf. souhaitée]}
• ${\displaystyle k(11)=1399\times 3001}$^{[réf. souhaitée]}
• ${\displaystyle k(14)=15913\times 16871}$^{[réf. souhaitée]}
• ${\displaystyle k(20)=47\times 353\times 66271697}$^{[réf. souhaitée]}
• ${\displaystyle k(24)=23\times 41\times 71\times 353\times 11909543.}$^{[réf. souhaitée]}

Le n-ième nombre de Kynea est égal à 4ⁿ (2^{n 1} – 1), ainsi qu'à ((2ⁿ – 1)² – 2) 2^{n 2}.

Sa représentation binaire si n ≥ 1 (suite  A244663) est un 1, suivi de n – 1 zéros, suivis de n 1 uns, puisque

${\displaystyle 4^{n} 2^{n 1}-1=2^{2n} \sum _{i=0}^{n}2^{i}.}$

Donc, par exemple, 23 est 10111 en binaire, 79 est 1001111, etc.

Nombres de Kynea premiers

Les dix plus petits nombres de Kynea premiers (suite  A091514) et leurs indices (suite  A091513) sont :

Le plus grand nombre de Kynea premier connu, d'indice n = 281 621, vaut approximativement 5,46 × 10^169 552. Il a été trouvé par Cletus Emmanuel en 2005, en utilisant le k-crible de Phil Carmody et OpenPFGW. C'est le 46^e nombre de Kynea premier.

Notes et références

• Arithmétique et théorie des nombres